1=2

1=2는 1+1=3을 증명하는 데 기초가 되는 정리이다. 참고로 이 정리는 매우 자명한 결과이다.

증명

매우 자명하지만, 두뇌가 딱딱한 인간들을 위해 여러 가지 증명법을 소개한다.

대수적 증명

다항식의 연산 1

$a = b = 1$이라고 두자.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (곱셈 공식)

양변을 $a - b$로 나누면,

$\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} = \frac{a^2-b^2}{a-b}$

a = b = 1이라고 가정하였으므로 각각 1을 대입하면,

$\frac{(1+1)(1-1)}{1-1} = \frac{1-1}{1-1}$

약분하면

$1 + 1 = 1$

식을 정리하면

$2 = 1$

∴ $1 = 2$

$Q.E.D.$

다항식의 연산 2

a = b (a, b ∈ $\mathbb{R}$)라고 두자.

그러면, $a^2 = b^2 = ab$이다. 이로 인하여 아래의 식 역시 성립하게 된다.

$a^2 - b^2 = a^2 - ab$

인수 분해하면,

$(a+b)(a-b) = a(a-b)$

양변을 $a - b$로 나누면,

$a + b = a$

$a = b$이므로,

$2a = a$

a로 나누면,

$2 = 1$

∴ $1 = 2$

$Q.E.D.$

복소수

$\frac{-1}{1}= \frac{1}{-1}$이다.

양변에 제곱근을 취하면,

$\sqrt{\frac{-1}{1}}= \sqrt{\frac{1}{-1}}$

분모와 분자의 근호를 분리하면,

$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$

허수 단위 $i$의 정의 $i=\sqrt{-1}$에서,

$\frac{i}{1} = \frac{1}{i}$

양변을 2로 나누면,

$\frac{i}{2} = \frac{1}{2i}$

양변을 i로 나누면,

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2i^{2}}$

$i^2 = −1$이므로,

$\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

양변에 $\frac{3}{2}$를 더하면,

$\frac{4}{2} = \frac{2}{2}$

약분하면,

$2 = 1$

∴ $1 = 2$

$Q.E.D.$

치환

1=2라고 가정하자.

여기서 1=2이므로 1은 2로 치환될 수 있다.

2=2이므로 가정한 명제는 참이 된다.

딴 정리 우려먹기

1=0이다.

양변에 1을 더하고 등식의 좌우를 바꾸면 1=2가 된다.

딴 정리 우려먹기 2

1=0이다.

0=2이다.

따라서 1=2이다.

“국물도 얼큰하네!”

—로버트 할리

해석적 증명

극한

지수함수 $e^x$는 $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x} {n})^n$이다.

$x=n$이라고 가정하자:

$\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{n} {n})^n$

약분하면

$\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(1 + 1)^n$

그러므로

$\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(2)^n$

양변에 $\lim_{n \to \infty} n$제곱근을 취하면

$e = 2$

그리고 $x = n^2$라고 가정하자:

$\lim_{n \to \infty}e^{n^2} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{n^2} {n})$

약분하면

$\lim_{n \to \infty}e^{n^2} = \lim_{n \to \infty} (1 + n)$

양변에 $\lim_{n \to \infty} n^2$ 제곱근을 취하면

$e = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n] {1 + n}$

이때

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n] {1 + n} =1$

이므로

$e=1$

$\therefore 1=2$

$Q.E.D.$

테일러 급수

테일러 급수를 이용하면 ln2는 다음과 같은 무한 급수의 형태로 나타낼 수 있다.

$\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots$

합과 차를 묶어내면,

$\ln 2= \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \cdots\right)$

a − b = a + b − 2b이다. 따라서,

$\ln 2 = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\cdots\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} +\cdots\right) - 2\,\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} +\cdots\right)$

식을 정리하면,

$\ln 2= \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\cdots\right) - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\cdots\right)$

계산하면,

ln2 = 0

로그의 성질로부터 ln1 = 0이다. 따라서,

ln2 = ln1

로그 함수의 성질로부터 $2 = 1$

∴ $1 = 2$

$Q.E.D.$

“잠깐! ln2 가 왜 0이야!”

—지나가던 공산주의자 삐

“입닥쳐, 말포이”

—지나가던 공산주의자 삐

그래도 미심쩍다면 다음 식을 계속 보아라:

ln2 = 0에서 양변에 ln2를 더하면,

2 ln2 = ln2

양변을 ln2로 나누면,

2 = 1

∴ $1 = 2$

$Q.E.D. \, \, season \, 2$

제타 함수

리만 제타 함수 $\zeta (z)$는 다음과 같이 정의된다.

$\zeta (z)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^n}$

이때 z=0이면

$\zeta (0)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^0}=1+1+1+1+1+1+\cdots$

이때 z=-1이면

$\zeta (-1)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^{-1}}=1+2+3+4+5+6+\cdots$

그런데

$2=1+1, \quad 3=1+1+1 \quad 4=1+1+1+1 \cdots$

그러므로

$\zeta (-1)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^{-1}}=1+2+3+4+5+6+\cdots=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+\cdots=\sum _{n=1} ^{\infty} 1$

그러므로

$\zeta (-1)=\zeta (0)$

그런데

$\zeta (0)=-\frac{1}{2} , \quad \zeta (-1)=-\frac{1}{12}$

이므로

$-\frac{1}{2}=-\frac{1}{12}$

양변에 -12을 곱하면

$6=1$

이 때 함수 $f(x)=\frac{x+4}{5}$라 놓자. 이때

$f(6)=f(1)$

이 성립하고, 이를 정리하면

$1=2$

$\mathbb{Q}.\mathbb{E}.\mathbb{D}.$

쉽게 말해서

• 0/1 = 0
• 0/2 = 0

즉,

• 0/1 = 0/2

즉,

• 1 = 2

너무 쉽지 아니한가!!

응용

그럼 이 정리로 간단한 명제를 증명해 보자.

참 쉽죠?
바보와 너는 둘이다. 그런데 1=2이다. 따라서 바보와 너는 하나이다. 따라서 너는 바보이다.

도보시오

• 1=0
• 1=-1
• 1+1=3

 빌어먹을 수학