백괴책:미분 귀신 적분 귀신 이야기

백괴책, 빈 세상을 위한 빈 책

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자연수 나라의 평화로운 일상.

옛날 옛날, 아주 아름답고 평온한 자연수 자치공화국이 어딘가에 있었다. 그러니까 이 자연수 자치공화국은 수학 제국이라는 매우 광대한 영토의 복소수 합중국이라는 광대한 영토의 실수 연방국 영토의 유리수 민주국의 정수 공화국의 아주 일부분에 불과했으며, 그 중 가장 평온했고 그리고 단조로웠던(?) 나라가 곧 자연수 나라라고 할 수 있겠다. 조그마한 이 자연수 나라에서는 무한한 수의 자연수들이 무한히 평화롭게 살고 있었다. 마치 1, 2, 3, 4 ... 처럼.

미분 귀신의 등장

현대에 전설로 전해내려오는 미분 귀신의 모습.
왼손에 들고 있는 불꽃이 바로 편미분이다.

그런데 어느 날 자연수 나라에 정체를 알 수 없는 어느 외부인이 나타났다. 그(또는 그녀)는 스스로를 일명, 미분 귀신이라 일컬었다. 미분 귀신은 그 나라의 ↑ 자연수사람들^?을 하나씩 미분해서 모조리 0으로 만들었다. 아무런 이유없는 묻지마 식 연쇄살인인 것이다. 심지어 0으로 나가떨어진 자연수들끼리 합체하여 소멸하기도 했다. 아무도 미분 귀신을 막을 수 없었고, 평화롭던 자연수 나라는 점점 황폐해져 갔다. 결국 이를 보다 못한 촌장과 동네 사람들이 반상회를 열었고, 몇 시간의 토론 끝에 그들은 바로 이웃에 있는 변수 자치공화국에 구원을 요청하기로 했다.

• 해석 : 아주 간단하게 설명하자면, 임의의 함수의 임의의 점의 접선의 기울기를 구하는 함수(도함수)를 구하는 것을 함수를 '미분'한다고 한다. y=c(여기서 c는 상수)라는 함수는 상수함수이므로 x축에 평행한 함수를 그리게 되며, 당연히 모든 점에서 이 함수의 접선의 기울기는 0이 된다. 따라서 자연수를 미분했을 경우는 항상 0이 나오게 된다.

이웃 자연수 자치공화국에 미분 귀신이 등장했다는 소식을 들은 변수 자치공화국에서는 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] 장군을 자연수 나라에 급파하였다. 한 숫자로 고정된 자연수들에 비해서, 전투 시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] 장군 앞에 당황한 미분 귀신은 잠시 주춤하였다. 그러나 미분 귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.

그러자 변수 자치공화국에서 [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] 장군을 급파했다. 그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다. 단 4번의 미분에 그만 작살이 나고야 말았다. 그래서 미분 귀신이 자기네 나라에도 영향을 미칠 것을 알고 있었던 변수 자치공화국은 [math]\displaystyle{ x^n }[/math] 참모 총장마저 보내는 초강수를 택했다. 그러나 그 역시 [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다.

• 해석 : 미분에서는 '제곱의 법칙'이라는 법칙이 존재한다. 이는 [math]\displaystyle{ y = x^n }[/math](단 n은 실수인 상수)를 미분하면 [math]\displaystyle{ y = nx^{n-1} }[/math]이 된다는 법칙이다. (이 법칙에 대한 자세한 풀이과정은 생략한다.) 이를 이용하면 [math]\displaystyle{ x^2 \to 2x \to 2 \to 0 }[/math]순으로 미분할 수 있고, [math]\displaystyle{ x^3 \to 3x^2 \to 6x \to 6 \to 0 }[/math]으로 계속 미분하면 결국 0이 될 수 있다. 일반적으로 '다항식'을 끊임없이 미분할 경우 결국 0에 도달한다.

그에게 대적할 용병

이제 어느 누구도 미분 귀신의 적수가 될 수 있는 자는 없을 거라고 생각했다. 그러나… 변수 나라에는 마지막 희망 [math]\displaystyle{ \sin x, \cos x }[/math] 두 장군이 있었다. 좌 sin x, 우 cos x 장군이 미분 귀신과 전투를 시작했다. 미분 귀신은 적잖이 당황을 했다. 왜냐하면 그들은 아무리 미분을 해도 서로 모습만 바꿔 가며 계속 덤빌 수 있었기 때문이다. 미분 귀신은 sin x, cos x 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다. 그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내었다. ↑ -sin x 인 것을 모르고 주석에 마우스를 올린 건 아니겠지cos x 장군을 미분해^? sin x 장군에게 던져 버린 것이다.

• 해석 : 삼각함수의 미분은 상당히 복잡(?)하다. 일반적으로 임의의 함수 f(x)를 미분하는 식은 다음과 같다.

-> [math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 대신 [math]\displaystyle{ \sin x }[/math](사인함수)를 옆 식에 대입하고, 삼각함수의 값이 0 또는 90에 가까워 질 때의 값 등을 이용하면 [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]를 미분하면 [math]\displaystyle{ \cos x }[/math]가 나오게 된다. 그리고 [math]\displaystyle{ \cos (90-x) = \sin x }[/math]인데, [math]\displaystyle{ 90-x=u }[/math]라고 한 뒤 연쇄법칙(역시 미분법칙의 일종인데, [math]\displaystyle{ y= g(f(x)) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f(x)=u }[/math]라고 할 때 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx} }[/math]이다. (여기서 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }[/math]은 y를 x에 대해 미분한다는 겁나 진절머리 나는 기호이다)을 이용하면 [math]\displaystyle{ \cos x }[/math]의 미분값은 [math]\displaystyle{ -\sin x }[/math]가 나온다. 그 다음은 이야기에서 나온 대로이다.

마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부딪쳐서 그만 자폭, 0이 되고 말았다. 일이 이쯤 되자 변수 왕국에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.

바로 그때 전설적인 용병이 등장했다. 그의 이름은 바로 지수 함수(exponential) 검신이었다. 그가 가진 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]라는 무기는 미분 귀신이 수백 번을 미분해도 전혀 손상되지 않았다. 이에 미분 귀신도 당황하기 시작했다. 이제 승리는 완전히 지수 검신의 것처럼 보였고 사람들은 결국엔 미분 귀신은 자연수 나라를 떠나게 될 것이라고 생각했다.

• 해석 : 지수함수의 미분은 복잡하다. 왜냐하면 앞에서 설명한 '제곱법칙'은 지수가 상수일 때만 쓸 수 있는데, [math]\displaystyle{ e^x }[/math]의 경우에는 지수가 변수이기 때문에 일반적인 미분이 불가능 한 것이다(제곱법칙 쓰겠다 ㅈㄹ을 해보라. 제곱법칙을 쓰면 [math]\displaystyle{ xe^{x-1} }[/math]인데, 그럼 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=0 }[/math]이여야 하는데, 실제로는 그렇지 않다. 이럴 때 우리는 원래 함수의 미분 식을 살펴볼 수 있다. [math]\displaystyle{ \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x}=\frac{e^x(e^{\Delta x-1})}{\Delta x} }[/math]인데, [math]\displaystyle{ e^0 }[/math]은 1이므로 [math]\displaystyle{ \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1 }[/math]이다. 따라서 미분한 값은 그대로 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]이다. 따라서 수만번 미분해도(일반적으로 n번 미분해 나온 결과를 n계도함수라고 한다.) 이 함수는 변하지 않는다.

tip : [math]\displaystyle{ e^x }[/math]의 미분을 쉽게 하는 법이 있다. [math]\displaystyle{ y=e^x }[/math]의 양변에 자연로그 In을 취해주면 [math]\displaystyle{ \ln y = \ln e^x = x }[/math]가 된다. 양변에 [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} }[/math](미분)를 취해주게 된다면 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = y = e^x }[/math]가 된다.

하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 끝내 패하고 말았다. 글쎄… 그 미분 귀신이… [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} e^x }[/math]를, 즉 편미분을 해 버린 것이다.

• 해석 : 편미분이란 두 가지 이상의 변수가 있는 함수를 미분하는 방법인데, 이 경우 여러 개의 변수 중 한 가지만 변수로 가정하고 나머지를 전부 상수로 가정을 한 뒤 앞에서 말한 미분과정을 거치는 것이다. 그러니까 [math]\displaystyle{ y=e^x }[/math]를 y에 대해 편미분하면 x가 상수가 되는 것이다. 따라서 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]도 정해진 값, 즉 상수가 된다. 따라서 앞에서 말했듯이 상수를 미분하면 0이 나오므로 바로 [math]\displaystyle{ e^x=0 }[/math]이 되어버리는 것이다.

다행히도 우리의 미분 귀신은 자연 함수 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]을 죽이고 나서 미분에 싫증을 느낀 나머지 자연수 나라를 떠났다. 변수 왕국을 공격하러 갔는지도 모를 일이었다. 어쨌든 자연수 나라에는 마침내 평화가 찾아왔고, 남아 있는 자연수들은 그들 스스로 오랜 시간 동안 ↑ 사칙 연산복구 작업^?을 거쳐 자연수 나라 사람들을 부활시켰다. ↑ 위에 정의되지 않은 변수, 예를 들면 ℓ에 대해 편미분하면 된다. 안되는거 아니냐고? 니가 안해본거다.(e^abcdefghijklmnopqrstuvwxyzαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω는 편미분을 못할것같지만 넘어가자)^?

적분 귀신의 등장

하지만 평화란 잠시 뿐이었다. 미분 귀신이 물러가는가 했더니만 이번에는 이 나라에 적분 귀신이라는 자가 나타나 자연수들을 닥치는 대로 적분하여 몸뚱아리를 불려 놓기 시작했다. 적분 귀신은 쓸데없는 살생은 하지 않았으나 성질이 포악하여 엑스(x), 와이(y) 등 변수에 상관없이 무자비하게 적분을 했다. 거기다가 [math]\displaystyle{ C }[/math]라는 성질이 더럽고 출처를 알 수 없는 집단을 키워 나갔다.

• 해석 : 적분이란, 미분을 거꾸로 하는 것이다. 즉 임의의 접선의 기울기에 대한 함수가 주어졌을 때 그 함수 자체를 구하는 것을 적분이라고 하는 것이다. x,y에 대해 적분하면 상수함수가 일차함수가 되는 건 당연할테고. 그리고 C란, 부정적분(적분한계가 주어지지 않은 적분)을 했을 때 나오는 상수인데 이를 적분상수라고 한다. 이 상수가 생기는 이유는 임의의 함수에 상수를 더하거나 빼도 그 함수가 y축 방향으로 평행이동을 할 뿐이므로 C가 0이든 1이든 e(좀 성질 더러운 초월수 중 하나다)이든 모두 가능하다. 따라서 C는 좀 성질 더럽다고 할 수 있다. (C를 구하기 위해서는 '초기조건'이란 게 필요하다.)

건국 이래 지금까지 한 핏줄 자연수들만으로 살아온 나라에 문화와 생김새가 다른 엑스(x), 와이(y), 적분상수(C)들은 많은 문제를 낳게 되었다. 심지어 적분 귀신은 엑스로 적분한 후 곧바로 와이로 적분해 버려 새로운 악성 집단인 엑스와이(xy)를 만들어내기도 하였다.

이제야 평화가 오는가 했던 자연수 나라의 왕은 아연실색을 하며 근처의 다항식 나라에 도움을 청했다.

그러나 다항식 나라는 적분 귀신은 자국의 인구 증가에 도움이 된다며 이를 거절했다. 심지어‘적분 귀신을 환영합니다’라는 플래카드를 내걸기도 하였으며, 설상가상으로 자연수 나라에 존재하던 xy나 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] 같은 집단들이 대거 다항식 나라로 이주하면서 자연수 나라는 먼젓번과는 전혀 다른 개념의 위기에 봉착하게 되었다.

• 해석 : 해석할 필요가 있나? 적분을 하면 다항식의 경우 최고차항의 차수가 1이 더해져 더 많은 함수가 된다. 아주 간단하게 예를 들어보자. y = 1이라는 함수를 4번 적분해보자(이때 생기는 적분상수를 A,B,C,D라 두자) 그러면 1 -> x + A -> (x^2)/2 + Ax + B -> (x^3)/6 + A(x^2)/2 + Bx + C -> (x^4)/24 + A(x^3)/6 + B(x^2)/2 + Cx + D가 된다. 이렇듯 다항식의 적분은 더 많은 다항식을 가져오므로 다항식 마을은 적분 귀신을 환영한 것이다.

자연수 왕은 얼마 안 남은 순수 자연수들을 모아 대책 회의를 열었다. 회의 결과 다시 미분 귀신을 불러야 한다는 의견이 나왔다. 그러나 자연수의 학살자인 미분 귀신을 부르면 그들조차도 막대한 피해가 있기에 그들 사이에도 의견이 분분했다. 결국 미분 귀신을 부른 후 순수 자연수들만 비밀 아지트에 숨기로 하고 미분 귀신을 불렀다.

적분 귀신과 미분 귀신의 대결

자연수들은 행방 불명되었던 미분 귀신을 결국 찾아내었다. 자연수 나라에 처한 위기를 알리며 간곡히 부탁한 자연수들은 미분 귀신을 불러오는 대 성공하였다. 미분 귀신은 일단 C들을 닥치는대로 죽이고, 다항식들을 죽이기 시작했다. 거의 모든 다항식들이 죽어 갈 무렵, 결국 미분 귀신 앞에 적분 귀신이 나타났다.

피할 수 없는 운명의 대결…

적분 귀신: "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자!"
미분 귀신: "좋다!" ('나에겐 편미분이란 무기가 있지!')

그러나 미분 귀신의 뜻대로 되진 않았다….

적분 귀신이 문제로 제시한 것은 무한 다변수 다항식 즉, [math]\displaystyle{ \lim_{n-\gt \infty }{\prod_{k=0}^{n}{a_k {x_k}^{p_k}}} }[/math] 이었다. 아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 변수들이 쏟아져 나왔고 지켜보던 자연수들이 모두 기겁하였다.

• 해석 : 무한 다변수 다항식이란, 말 그대로 많은 변수들의 다항식이다. 이 경우에는 '파이'란 괴상한 문자가 쓰였는데, 이는 여러 항의 곱을 나타낼 때 쓰인다. 이 경우는 파이 함수의 한계가 n 인데 이게 무한으로 수렴하므로 무한한 항이 계속 이어진다. 이런 다항식은 다른 문자로 편미분하여도 말 그대로 끊임없이 변수를 내어준다.

미분 귀신: "젠장, 포기다… 너의 솜씨를 보여 다오."
적분 귀신: "가소로운 것… 에잇!"

눈앞의 무한 다변수 다항식이 흔적도 없이 소멸되어 버리는 것이 아닌가.

미분 귀신: "어… 어떻게?"

그렇다…. 적분 귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다.

• 해석 : 앞에서 나온 부정적분과는 달리, 정적분은 '적분한계'라는 일정한 한계가 주어졌다. 그리고 또 여기서 좀 고리타분한 수학 이야기를 꺼내보자. '미적분학의 기본정리'라는 것이 있다. 이는 y = f(x)의 부정적분을 y = F(x)라고 할 때 x = a, x = b, y = f(x), y = 0이라는 네 개의 선으로 둘러싸인 면의 넓이는 F(b) - F(a)와 같다는 것이다. 그러고 여기서 a,b를 적분한계라고 한다. 0에서 0까지 정적분을 하면 어떤 함수든 F(0) - F(0) = 0이 되어버린다. 물론 잠시 후 예외적 함수가 나오게 되니 지켜보도록 하자.

적분 귀신은 정말 대단했다. 승승장구를 치던 적분 귀신에게 대적할 만한 상대는 더 이상 존재하지 않았다.

여지없이 무너진 미분 귀신은 함께 자연수 나라 사람들과 영구적인 동맹을 맺었고, 힘을 합하여 적분 귀신을 물리칠 동업자를 찾아 나섰다. 이들은 자연수 나라를 벗어나 정수 제국, 유리수 제국, 실수 제국, 심지어 그 복잡하다는 복소수(complex number) 제국까지… 그러나 미분 귀신은 더 이상 동업자를 찾을 수 없는 듯했다.

“수의 마을들에서는 도저히 찾을 수 없는 것인가…?”

자포자기한 미분 귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다. 실수 및 복소수 제국에서 연속(continuous)인 함수들이 어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산조각이 나는 것이었다.

“저놈이닷!” 미분 귀신이 외쳤다.

자세히 보니 그놈은 델타 함수(delta function)였다. 연속 함수들을 sampling을 통해 이산(discrete) 함수로 만들고 있었던 것이다.

며칠 후… 자연수 나라로 돌아온 미분 귀신은 델타 함수를 적분 귀신 앞에 내놓았다. 적분 귀신은 자신의 비장의 무기인 0에서 0까지 정적분을 사용했다. 그러나 델타 함수는 사라지지 않고 1을 남겼다.

델타 함수는 정말 대단했다. 특이하게도 0(−0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이 되는 것이었다. 순간 당황한 적분 귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다. 그러자 1이 사라졌다.

• 해석 : 앞에서 무슨 셈플링 이산함수 어쩌고저쩌고 하는말은...해석하는 나도 모르니 처절히 씹어주자<이 이기주의 자식. 델타함수는 정말 특이한 함수이다. x ≠ 0일 때 y = 0이 되고, x = 0일 때 y = ∞이 되어버리는 함수이다. 이 함수는 어떻게 정적분시키든 그 적분한계 사이에 0이 포함될 경우에는 무조건 1을 내놓고, 그렇지 않으면 0을 내놓는다. (무한, 즉 ∞은 1/0(1에서 0을 몇 번 빼야 0이 되는가?)과 같이 볼 수 있는데, 황당하게도 이 때의 넓이는 1/0 * 0 = 1이 되어버리는 것이다.) 그리고 1이 사라지는거...너무 당연하다. 이제 한번 정적분 했으니 1은 그냥 상수함수다. 정적분하면 당연히 사라질수밖에.

이때 나선 미분 귀신은 델타 함수를 무한 번 미분해 주기 시작했다. 적분 귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도 미분을 통해 계속 델타 함수의 변종들이 나타나는 것이었다. 적분 귀신은 드디어 두 손 두 발, 아니 두 인티그럴(integral)을 다 들고 말았다.

• 해석 : 그냥 무한 다변수 다항식처럼 미분을 할 경우 끊임없는 변수들이 쏟아져 나온다 생각하자. 그리고 적분귀신이 인티그럴 들었다고 하는데, 인티그럴, 또는 인테그랄이라고 하는 것은 S와 비슷하게 생긴 적분기호이다.

미분 귀신과 델타 함수의 연합 전선은 정말 대단했다. 그러나 잠시 잠깐 그들이 한눈을 판 사이에 그들은 사라지고 말았다.

“무슨 일이지…?” 적분 귀신이 고개를 들었다.

정의 귀신의 등장

그 거대한 몸짓. 그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는 거의 신적인 존재였다. 그는 바로 정의(definition) 귀신이었다. 미분 귀신과 델타 함수가 열심히 연합해도 마지막에 정의 귀신이 = 0 한마디만 하면 끝나는 것이었다. ↑ 상수들은 그러한 정의가 거짓이 되니까 할 수 있다과연 정의 귀신을 대적할 자가 이 세상에 존재할는지…^?

.. 바야흐로 중원의 미분 귀신과 적분 귀신에 의한 전국 시대는 정의 귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다. 정의 귀신의 활약은 대단했다. 정의 귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화 되고, 모든 수 마을들의 사람은 정의 귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게 되었다.

정의 귀신의 깨달음

그러던 어느날, 정의 귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다. 정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌 듯하게 보이는 마을이었다.

하지만.. 문제는.. 마을 사람들이 정의 귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다. 그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이 이렇게 무시당하는 것에 정의 귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다.

마침 굉장히 어리버리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다. 정의 귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯, "= 0"을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝 하지 않고, 대뜸 이렇게 반문하는 것이었다.

"아저씨, 그건 95%의 신뢰 구간에서는 채택될 지 몰라도 저는 유의수준이거든요. 딴 데 가서 알아봐요."

정의 귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다. 무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지 않는 것이었다.

화가난 정의 귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다. 하지만, 그 청년은 정의 귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(Real number)를 만들어내는 것이 아닌가?

정의 귀신은 이해할 수 없었다. 왜 사라지기는커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가? 정의 귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을 수가 없었다. 청년은 대답했다.

"저는 확률 함수(Probability function)라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건 간에 그에 따른 확률을 계산합니다."

"이럴수가.."

"이 마을은 '확률과 통계'라는 연합 마을입니다. 이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을 알려주지요."

"그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군. 한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는 것이지?"

"저희가 가진 힘은 시계열(통계학의 연구 분야의 하나)이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면 아무것도 아니기 때문입니다. 그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을 갖고 있지요. 시계열 마을 뿐 만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는 시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다. 소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는 프랙탈(Fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다." "..."

역시 세상은 넓다고 했던가.. 정의 귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.

욕심쟁이 집합의 등장

이렇게 하야 '확률과 통계'라는 연합마을 덕분에, 평화를 찾게 된 수학 제국(數學 帝國). 그런데, 얼마 되지 않아, 수학국에 '집합'이라는 최후(?)의 탐욕가가 나타났다. 그 탐욕가는 모든 자연수를 삼켜버리는 능력을 가지고 있으며, 방정식은 물론 프랙탈도 삼킬 수 있다고 한다. (소문에 의하면 자신과 동맹인 '그래프'라는 천하제일검객도 삼켰다고도 한다.)소문에 의하면..

기껏 재기한 자연수들을 가차없이 자신의 입에 넣어 몸집을 불렸고, 곧이어 정수, 유리수, 실수, 복소수까지 모조리 삼켜버렸다. 이제 '집합'은 C(복소수)집합이 되었는데, 아직 만족하지 못한 집합은 방정식의 마을로 쳐들어가, 모든 식을 자신의 양식으로 삼았다. 최후의 생존자인 2^n도 그의 앞에서 처참히 쓰러지고 말았다. (이것이 우리가 '멱집합'이라고 부르는 것이다.)

또, 방정식마을을 싹쓸이한 집합은 프랙탈 마을로 쳐들어갔다. 이에 프랙탈 사람들은 자신들의 고유권법(프랙탈)을 사용했으나 집합은 오히려 그것들을 이용해, 몸집을 부풀리기까지 했다.(멱집합의 부분집합) 결국, 프랙탈마을도 초토화 되어버리고, '확률과 통계'마을 사람들은 벌벌 떨어야 했다.

그러던 어느날, 일이 터지고 말았다. '집합'은 '확률과 통계'라는 연합마을로 쳐들어간 것이다. 처음으로 그를 만난 확률청년(정의귀신을 쫓아낸 장본인)이 그와 대화를 시도하고자 했으나, 그는 아주 잔인하게 그 확률청년을 죽였다. A∩Ac=φ를 이용하여 P(A∩Ac)=0으로 소멸시킨 것이었다. 이에 '확률과 통계' 연합마을에서 이 '집합'이라는 골칫거리를 제거하고자 했으나, '집합'은 확률마을 사람들은 P(A∩Ac)=0으로, 통계마을 사람들은 (Ai≠Aj)⇒|Ai∩Aj|=0으로 깡그리 소멸시키고 말았다.

관계 마을의 꼬마

'확률과 통계'마을을 순식간에 점령해 버린 '집합'은 다음 목적지로 '관계마을'로 가는데... 관계마을에 도착한 '집합'은 한 작은 관계꼬마를 삼키려고 했다. 그런데, 이 관계꼬마가 소위 '분열'을 쓰는 게 아닌가!그렇다. (a,b)≠(b,a)인 사실을 이용하여 전혀 다른 객체로의 분화가 이루어진 것이었다. 그걸로도 모자라, 관계꼬마는 집합과의 접촉을 시도한다. 관계꼬마가 집합과 접촉하는 순간, 관계꼬마는 1+n+n^2+...+n^n명으로 분열되고 만 것이었다! 그리고 그 영향이 '집합'에도 나타나, '집합'은 이 불어나 버린 관계꼬마를 제거하기 위해가장 위험하다는 '구토신공'을 사용하기에 이르렀다.그가 '음식물'을 하나씩 토하자, 불어난 관계꼬마의 수도 점점 줄어들기 시작하고,하나만 남기고 모두 토하자, 관계꼬마의 수는 다시 하나로 줄어들었다. (정의역이 줄어들면 가능한 관계의 수도 줄어든다는 사실을 그 꼬마는 모르고 있었던 것이었다.) 이에 관계꼬마는 울음을 터뜨리며 집으로 들어가게 되었다. 놓칠 수 있겠나! 집합은 곧바로 그의 집을 습격했다.

그런데, 이거 난감하게 됐다. 관계꼬마의 아버지는 '반사클로우져', 어머니는 '대칭클로우져', 누나는 '추이클로우져'였다. 어머니가 지원하자, 관계꼬마는 순식간에 둘로 불어났다. 하지만, 집합은 둘을 한꺼번에 삼키고 도로 토해냈다. 관계꼬마는 한명으로 돌아갔다. (왜냐? 지금 집합은 '하나의 음식물'만 삼킨 상태다. 정의역의 원소가 딱 하나니, 반사나 대칭이나 추이나 다 똑같이 되어버린 것이었다.)

하는 수 없이, 꼬마네 가족은 원로를 찾아가게 된다. 곧바로 집합이 뒤쫓아 가보지만, 이미 늦었다. 원로의 집에는 무한분열기계가 있었고, 꼬마는 그곳에 잠들었기 때문이다. 집합이 이러지도 저러지도 못하는 사이에 출력창에서 꼬마(1,1)의 변형체가 나타났다.((1,1),(1,1))였던 것이었다. 곧이어 (((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))도 나타났다. 집합은 전에 했던 대로 둘을 삼키고 뱉었지만, 그들은 아직도 그대로 있었다.(1,1)≠((1,1),(1,1))≠(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))≠...이기 때문이다.곧이어 ((((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))),(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))))도 나타났다. 집합은 슬슬 겁먹기 시작했다.얼마 지나지 않으면 내부의 (1,1)가 ((1,1),(1,1))가 되는무한변형체가 나타날 것이기 때문이었다.결국 불안해진 집합은 마지막 남은 '1'을 뱉어내고 스스로 목숨을 끊었다(φ(공집합)이 되어 소멸되었던 것이다). 이리하야, 관계마을은 평화를 찾는 듯 했으나, 곧 혼란에 휩싸이고 만다.그렇다. 이 분열기계가 폭주하여 꼬마의 분열이 멈추지 않았던 것이었다(정의역에 있었던 1이 사라지고 그 대신 φ이 자리했기 때문이다. 그 꼬마는 이제 (φ,φ)가 되어버린 것이다). 하는 수 없이 그 원로는 정의의 해결사를 부르게 된다.

그 해결사는 과연 누가 될 것인가?

↑ 0과는 다르다! 0과는!()^?

그때 φ와 같은 해결사 () (집합의 친구였으나 야심이 없는 자)가 φ를 대신했다(()=φ). 즉 ((),()) 이 되어 그 관계꼬마는 ↑ ()은 집합으로 ()를 원소로 가지면 ()안의 원소는 상관없이 1개로 본다(1,1)이 되었다!^? 그 후 분열기계는 ()의 도움으로 멈추고 수학마을에는 평화가 왔다. 경사났네 경사났어.

다시 시작된 전쟁, 그리고 멸망

평화가 다시 시작되었다고 생착각된 그때 갑자기 과학 제국의 일부인 물리학 합중국이 수학 제국을 공격하였다. 갑자기 과학 제국 전체가 수학 제국을 공격하였고, 그와 함께 초딩들, 수능 끝난 고3들, 문과들도 수학 제국을 공격하였다. 그로 인하여 수학 제국은 멸망하였다.

물리귀신의 등장

망한 수학 제국의 자리에는 물리학 합중국이 들어왔다. 물리학 합중국의 생활양식은 잘 정리되어 있는데, 이를 나열하면 다음과 같다.

1. 자신에게 힘이 작용하지 않는다면 움직이지 않거나 등속직선운동을 해야 한다.
2. 자신에게 F 만큼에 힘이 가해진다면 힘의 크기를 자신의 몸무게로 나눈 값만큼 빨라지는 운동을 해야 한다.
3. 자신에게 힘이 가해지면 힘을 가한 사람에게 그만큼의 힘은 되돌려줄 것을 맹세한다.

수학 제국에 비해 이들은 매우 평화롭게 살았는데 갑자기 정상파 귀신이 나타났다. "훗! 나는 정상파 귀신! 지금부터 짧은 시간 안에 많은 에너지를 만들어내는 사람이 승리한다!" 사실 물리학 합중국도 자신만만했다. 그들에게는 '운동에너지'가 있었다. 속도가 2배만 빨라져도 에너지는 4배! 이들은 어마무시하게 무거운 돌을 매우 빠르게 굴리는 것이 전략이었다. 하지만 정상파 귀신은 대단했으니! 바야흐로 1940년, 이 귀신은 미국의 12m*640m 다리를 손쉽게 입바람으로 부술 정도로 대단했다. 아무튼 상대 전력을 알았으니 경기가 시작되었다. 정상파 귀신은 정밀히 계산하여 만든 실을 두 벽 사이에 건 다음 계속해서 파동을 만들어냈다. 놀라웠다! 물리학 합중국의 백성들은 공기마찰에, 열로 인한 에너지 손실에 고생하고 있는데, 이 실은 얇으니 마찰도 0이라 해도 무방했다. 에너지를 가하는 족족 그것에 비례하여 실의 에너지가 커졌다. 하지만 속도의 제곱은 이기기 힘들었다. 그러자 정상파 귀신은 다시 고민에 빠졌다. 그러더니 물리학 합중국 팀이 굴리고 있던 돌을 향해 휘파람을 불더니 갑자기 굉음과 함께 돌이 매우 진동했고 결국 산산조각 나 버렸다. 이렇게 하여 정상파 귀신의 승리로 끝났다.

그때 미분귀신이 부활했다. 그러더니

에너지를 더 많이 모으는 측이 승리한다

라는 문구에서 '에너지'라는 단어 앞에 '운동'이라는 단어를 붙이더니 곧바로 속도로 미분해버렸다. 그러자 문구는

운동량을 더 많이 모으는 측이 승리한다

로 바뀌었다. 정상파 귀신은 절망했다. 실은 매우 가벼웠고 파동의 진행 속도도 빠르진 않아 운동량이 매우 작았던 반면, 물리제국은 매우 무겁고 빠랐던 돌이 쪼개지는 과정에서 운동량을 보존할 수 있었다. 이렇게 하여 정상파 귀신은 펑펑 울며 사라졌다.

하지만...

그게 끝이 아니었다. 화학 합중국이 쳐들어왔다. 물리학군은 자신만만하며 날려버리려고 했으나, 그게 아니었다. 화학군은 바람을 수소로 만들어, 씨밤쾅 폭격을 가했고, 동시에 나트륨을 비롯하여 폭탄들이 터지기 시작했다.

3줄요약

1. 뭐라는겨
2. 이걸누가 다읽어
3. 이걸또 누가쓴거여

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