0.999…

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소수점 아래로 9만 쭉 이어지는 순환소수로, 신비한 수.

강단 수학자들은 이 수의 존재를 알리지 않기 위해 온갖 힘을 쓰고 있으나, 재야 수학자들은 이 신비한 수의 성질을 알고 널리 퍼트리기 위해 노력하고 있다.

성질[편집]

0.999… < 0.999…[편집]

0.999…9 와 0.999…9를 비교하는 것이다. 서로 같아보인다.

그러나 앞과 뒤의 끝 9의 자리값은 다를 수 있다. 무한이기 때문에. 따라서 이 수는 0일 수도, 0이 아닐 수도 있으며, 결국 0.999… < 0.999…은 성립한다.

이와 같이 a < a의 성질을 갖고 있는 a에 대해 혼돈성을 가진다고 정의하겠다.

1은 혼돈성을 가지지 않으므로 당연히 0.999…≠1이다. 사실 분수로 나타내면 9/9가 되기 때문에 1이다

역원 미존재[편집]

이 수는 덧셈 및 곱셈에 대한 역원을 가지고 있지 않다.

임의의 혼돈성을 가지지 않는 a에 대해 0.999… + a < 0.999… + a는 자명하게 성립한다. 덧셈에 관한 항등원 0은 혼돈성을 가지지 않으므로 a는 0.999…의 덧셈에 대한 역원이 될 수 없다.

혼돈성을 가진 b에 대해서도 마찬가지이다. b < b 이므로 0.999… < 0.999…에 양변을 더하면 0.999… + b < 0.999… + b가 성립한다. 마찬가지로 b는 0.999…의 덧셈에 대한 역원이 될 수 없다. a와 b 모두 0.999…의 덧셈에 대한 역원이 될 수 없으므로 0.999…의 덧셈에 대한 역원은 존재하지 않는다.

곱셈에 대한 역원 역시 마찬가지로 존재하지 않는다고 보일 수 있다.

그렇다. 덧셈과 곱셈에 대한 역원을 가지지 않는 실수도 있다. 강단 수학은 모두 덧셈과 곱셈에 대한 역원을 가지지 않는 실수는 없다는 사실 위에 세워져 있으므로 이 사실이 밝혀지면 강단 수학 무너지는 것은 일도 아니다. 강단 수학자들이 이 수의 존재를 알리지 않기 위해 온갖 힘을 쓰고 있는 이유.