1=2

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1=21+1=3을 증명하는 데 기초가 되는 정리이다. 참고로 이 정리는 매우 자명한 결과이다.

증명[edit]

매우 자명하지만, 두뇌가 딱딱한 인간들을 위해 여러 가지 증명법을 소개한다.

대수적 증명[edit]

다항식의 연산 1

[math]a = b = 1[/math]이라고 두자.

[math](a + b)(a - b) = a^2 - b^2[/math] (곱셈 공식)

양변을 [math]a - b[/math]로 나누면,

[math]\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} = \frac{a^2-b^2}{a-b}[/math]

a = b = 1이라고 가정하였으므로 각각 1을 대입하면,

[math]\frac{(1+1)(1-1)}{1-1} = \frac{1-1}{1-1}[/math]

약분하면

[math]1 + 1 = 1[/math]

식을 정리하면

[math]2 = 1[/math]
[math]1 = 2[/math]
[math]Q.E.D.[/math]
다항식의 연산 2

a = b (a, b ∈ [math]\mathbb{R}[/math])라고 두자.

그러면, [math]a^2 = b^2 = ab[/math]이다. 이로 인하여 아래의 식 역시 성립하게 된다.

[math]a^2 - b^2 = a^2 - ab[/math]

인수 분해하면,

[math](a+b)(a-b) = a(a-b)[/math]

양변을 [math]a - b[/math]로 나누면,

[math]a + b = a[/math]

[math]a = b[/math]이므로,

[math]2a = a[/math]

a로 나누면,

[math]2 = 1[/math]
[math]1 = 2[/math]
[math]Q.E.D.[/math]
복소수

[math]\frac{-1}{1}= \frac{1}{-1}[/math]이다.

양변에 제곱근을 취하면,

[math]\sqrt{\frac{-1}{1}}= \sqrt{\frac{1}{-1}}[/math]

분모와 분자의 근호를 분리하면,

[math]\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}[/math]

허수 단위 [math]i[/math]의 정의 [math]i=\sqrt{-1}[/math]에서,

[math]\frac{i}{1} = \frac{1}{i}[/math]

양변을 2로 나누면,

[math]\frac{i}{2} = \frac{1}{2i}[/math]

양변을 i로 나누면,

[math]\frac{1}{2} = \frac{1}{2i^{2}}[/math]

[math]i^2 = −1[/math]이므로,

[math]\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}[/math]

양변에 [math]\frac{3}{2}[/math]를 더하면,

[math]\frac{4}{2} = \frac{2}{2}[/math]

약분하면,

[math]2 = 1[/math]
[math]1 = 2[/math]
[math]Q.E.D.[/math]
치환
1=2라고 가정하자.
여기서 1=2이므로 1은 2로 치환될 수 있다.
2=2이므로 가정한 명제는 참이 된다.
딴 정리 우려먹기
1=0이다.
양변에 1을 더하고 등식의 좌우를 바꾸면 1=2가 된다.
딴 정리 우려먹기 2
1=0이다.
0=2이다.
따라서 1=2이다.


“국물도 얼큰하네!”

로버트 할리
가 좋아하는 증명

남자와 여자가 한 방에 있으면 셋이 된다. 1+1=3 1=2

해석적 증명[edit]

극한
지수함수 [math]e^x[/math][math]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x} {n})^n[/math]이다.

[math]x=n[/math]이라고 가정하자:

[math]\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{n} {n})^n[/math]

약분하면

[math]\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(1 + 1)^n[/math]

그러므로

[math]\lim_{n \to \infty}e^n = \lim_{n \to \infty}(2)^n[/math]

양변에 [math]\lim_{n \to \infty} n[/math]제곱근을 취하면

[math]e = 2[/math]

그리고 [math]x = n^2[/math]라고 가정하자:

[math]\lim_{n \to \infty}e^{n^2} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{n^2} {n})[/math]

약분하면

[math]\lim_{n \to \infty}e^{n^2} = \lim_{n \to \infty} (1 + n)[/math]

양변에 [math]\lim_{n \to \infty} n^2[/math] 제곱근을 취하면

[math]e = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n] {1 + n}[/math]

이때

[math]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n] {1 + n} =1 [/math]

이므로

[math]e=1[/math]
[math]\therefore 1=2[/math]
[math]Q.E.D.[/math]
테일러 급수[1]

테일러 급수를 이용하면 ln2는 다음과 같은 무한 급수의 형태로 나타낼 수 있다.

[math]\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots[/math]

합과 차를 묶어내면,

[math]\ln 2= \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \cdots\right)[/math]

a − b = a + b − 2b이다. 따라서,

[math]\ln 2 = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\cdots\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} +\cdots\right) - 2\,\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} +\cdots\right)[/math]

식을 정리하면,

[math]\ln 2= \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\cdots\right) - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\cdots\right)[/math]

계산하면,

ln2 = 0

로그의 성질로부터 ln1 = 0이다. 따라서,

ln2 = ln1

로그 함수의 성질로부터 [math]2 = 1[/math]

[math]1 = 2[/math]
[math]Q.E.D.[/math]

“잠깐! ln2 가 왜 0이야!”

지나가던 공산주의자 씹새끼

입닥쳐, 말포이

지나가던 공산주의자 씹새끼

그래도 미심쩍다면 다음 식을 계속 보아라:

ln2 = 0에서 양변에 ln2를 더하면,

2 ln2 = ln2

양변을 ln2로 나누면,

2 = 1
[math]1 = 2[/math]
[math]Q.E.D. \, \, season \, 2 [/math]
제타 함수

리만 제타 함수 [math]\zeta (z)[/math]는 다음과 같이 정의된다.

[math]\zeta (z)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n^z}[/math]

이때 z=0이면

[math]\zeta (0)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^0}=1+1+1+1+1+1+\cdots[/math]

이때 z=-1이면

[math]\zeta (-1)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^{-1}}=1+2+3+4+5+6+\cdots[/math]

그런데

[math]2=1+1, \quad 3=1+1+1 \quad 4=1+1+1+1 \cdots[/math]

그러므로

[math]\zeta (-1)=\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{z^{-1}}=1+2+3+4+5+6+\cdots=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+\cdots=\sum _{n=1} ^{\infty} 1[/math]

그러므로

[math]\zeta (-1)=\zeta (0) [/math]

그런데

[math]\zeta (0)=-\frac{1}{2} , \quad \zeta (-1)=-\frac{1}{12} [/math]

이므로

[math]-\frac{1}{2}=-\frac{1}{12}[/math]

양변에 -12을 곱하면

[math]6=1[/math]

이때 함수 [math]f(x)=\frac{x+4}{5}[/math]라 놓자. 이때

[math]f(6)=f(1)[/math]

이 성립하고, 이를 정리하면

[math]1=2[/math]
[math]\mathbb{Q}.\mathbb{E}.\mathbb{D}.[/math]
오일러 등식
[math]e[/math]^[math]i{\pi}+1=0[/math]

이항하면

[math]e[/math]^[math]i{\pi}=-1[/math]

양변에 제곱을 하면

[math]e[/math]^[math]2i{\pi}=1[/math]

지수법칙에 의해

[math]2i{\pi}=0[/math]

양변에 [math]2i{\pi}[/math]를 더하면

[math]4i{\pi}=2i{\pi}[/math]

양변을 [math]2i{\pi}[/math]로 나누면

[math]2=1[/math]
[math]\mathbb{Q}.\mathbb{E}.\mathbb{D}.[/math]

쉽게 말해서[edit]

  • 0/1 = 0
  • 0/2 = 0

즉,

  • 0/1 = 0/2

즉,

  • 1 = 2

너무 쉽지 아니한가!!

응용[edit]

그럼 이 정리로 간단한 명제를 증명해 보자.

주석[edit]

  1. 서울대학교 미적분학 책도 인정했다 카더라.

도보시오[edit]